בגרות קיץ 2023 מועד מיוחד – וקטורים בפירמידה שבסיסה מלבןוקטורים 472 · שיעור 37
📄 נוסח השאלה
נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מלבן. המקצוע SA מאונך לבסיס הפירמידה. הנקודה E היא אמצע המקצוע SC (ראו סרטוט). נסמן: AB = u , AD = v ו־SA = w.
א. הביעו את הווקטורים SC , EB ו־ED באמצעות u , v ו־w.
נתון: EB מאונך ל־ED, |u| = 4 , |v| = 3.
ב. מצאו את |w|.
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון: D(0 , 0 , 0), הצלע AD מונחת על החלק החיובי של ציר ה־x, הצלע DC מונחת על החלק החיובי של ציר ה־y, שיעור ה־z של הנקודה S הוא חיובי.
ג. מצאו את שיעורי הנקודות A , C ו־S.
ד. חשבו את שטח המשולש DEB.
סעיף א – הבעת SC , EB , ED
הפירמידה לפי קנה מידה (4 על 3, גובה 5). בסגול EB ו־ED, והזווית הישרה ב־E.
במלבן BC = AD = v ו־DC = AB = u.
SC = SA + AB + BC
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב SA = w , AB = u , BC = v:
SC = w + u + v
E אמצע SC, ולכן EC = 12SC:
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
סעיף א – הבעת SC , EB , ED · המשך
E אמצע SC, ולכן EC = 12SC:
EB = EC + CB
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב EC = 12SC = 12(u + v + w) , CB = −v:
EB = 12(u + v + w) − v
EB = 12u − 12v + 12w
ED = EC + CD
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
סעיף א – הבעת SC , EB , ED · המשך
ED = EC + CD
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב EC = 12(u + v + w) , CD = −u:
ED = 12(u + v + w) − u
ED = −12u + 12v + 12w
✅ פתרון סופי: SC = u + v + w
EB = 12u − 12v + 12w
ED = −12u + 12v + 12w
EB = 12u − 12v + 12w
ED = −12u + 12v + 12w
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
סעיף ב – האורך של w
מה ידוע: במלבן u ⊥ v; SA מאונך לבסיס, ולכן w ⊥ u ו־w ⊥ v:
u·v = 0
📐 וקטורים מאונכים
u·w = 0
v·w = 0
EB · ED = 0
📐 וקטורים מאונכים
נציב EB = 12(u − v + w) , ED = 12(−u + v + w):
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a·b = 0
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a·b = 0
סעיף ב – האורך של w · המשך
נציב EB = 12(u − v + w) , ED = 12(−u + v + w):
12(u − v + w) · 12(−u + v + w) = 0
14(u − v + w) · (−u + v + w) = 0
כופלים כל איבר בכל איבר – נשארים רק הריבועים:
−|u|2 − |v|2 + |w|2 = 0
📐 אורך וקטור
נציב |u|2 = 42 = 16 , |v|2 = 32 = 9:
📐 אורך וקטור
|a|2 = a·a
סעיף ב – האורך של w · המשך
נציב |u|2 = 42 = 16 , |v|2 = 32 = 9:
−16 − 9 + |w|2 = 0
|w|2 = 16 + 9 = 25
|w| = 5
✅ פתרון סופי: |w| = 5
סעיף ג – שיעורי A , C , S
A על ציר ה־x במרחק AD = |v| = 3; C על ציר ה־y במרחק DC = |u| = 4:
A(3 , 0 , 0)
C(0 , 4 , 0)
SA מאונך לבסיס (מקביל לציר ה־z), אורכו 5, ו־S מעל הבסיס:
S = A + AS
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב A(3 , 0 , 0) , AS = (0 , 0 , 5):
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
סעיף ג – שיעורי A , C , S · המשך
נציב A(3 , 0 , 0) , AS = (0 , 0 , 5):
S = (3 , 0 , 0) + (0 , 0 , 5) = (3 , 0 , 5)
✅ פתרון סופי: A(3 , 0 , 0) , C(0 , 4 , 0) , S(3 , 0 , 5)
סעיף ד – שטח המשולש DEB
נתון EB ⊥ ED – המשולש DEB ישר זווית ב־E.
E = (3 + 02 , 0 + 42 , 5 + 02) = (1.5 , 2 , 2.5)
📐 אמצע קטע
B = A + DC
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב A(3 , 0 , 0) , DC = (0 , 4 , 0):
B = (3 , 0 , 0) + (0 , 4 , 0) = (3 , 4 , 0)
EB = B − E
📐 אמצע קטע
(x1 + x22 , y1 + y22 , z1 + z22)
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
סעיף ד – שטח המשולש DEB · המשך
EB = B − E
נציב B(3 , 4 , 0) , E(1.5 , 2 , 2.5):
EB = (3 , 4 , 0) − (1.5 , 2 , 2.5)
📐 אורך וקטור
EB = (1.5 , 2 , −2.5)
|EB| = √(2.25 + 4 + 6.25) = √12.5
ED = D − E
📐 אורך וקטור
|(x,y,z)| = √(x2 + y2 + z2)
סעיף ד – שטח המשולש DEB · המשך
ED = D − E
נציב D(0 , 0 , 0) , E(1.5 , 2 , 2.5):
ED = (0 , 0 , 0) − (1.5 , 2 , 2.5)
📐 אורך וקטור
ED = (−1.5 , −2 , −2.5)
|ED| = √12.5
המשולש DEB (בתכלת) לפי קנה מידה; הזווית ב־E ישרה.
📐 אורך וקטור
|(x,y,z)| = √(x2 + y2 + z2)
סעיף ד – שטח המשולש DEB · המשך
המשולש DEB (בתכלת) לפי קנה מידה; הזווית ב־E ישרה.
SDEB = |EB| · |ED|2
📐 שטח משולש ישר זווית
נציב |EB| = |ED| = √12.5:
SDEB = √12.5 · √12.52 = 12.52 = 6.25
✅ פתרון סופי: SDEB = 6.25 יחידות שטח
📐 שטח משולש ישר זווית
S = ניצב · ניצב2
📌 סיכום התשובות
סעיף א
SC = u + v + w
EB = 12u − 12v + 12w
ED = −12u + 12v + 12w
EB = 12u − 12v + 12w
ED = −12u + 12v + 12w
סעיף ב
|w| = 5
סעיף ג
A(3 , 0 , 0)
C(0 , 4 , 0)
S(3 , 0 , 5)
C(0 , 4 , 0)
S(3 , 0 , 5)
סעיף ד
6.25
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא